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Introduction à La Mécanique des Milieux Continus et l’Elasticité

par: Mouattah
Disponible
Pages 216
Dimensions 16*23,5
Publication 2023-02-23
Éditeur —
Papier : 1 100.00 DA Numérique: 550.00 DA

La mécanique des milieux continus est, en principe, une branche des mathématiques appliquées car elle exige, à priori, une bonne connaissance de certaines notions de calcul vectoriel et tensoriel. Toutefois, l’approche peut être simplifiée en ne « s’engouffrant pas trop » dans les chemins ardus des mathématiques et en se contentant d’aller directement, parfois, aux résultats mathématiques. Nonobstant ces simplifications, les étudiants sont la plupart du temps rebutés par l’introduction ô combien utile ! C’est pour cette raison qu’on va, parfois, anticiper sur l’usage de telle ou telle notion mathématique lors du rappel sur l’analyse tensorielle pour que l’étudiant garde tout son enthousiasme pour cette discipline. Il est à noter, également, que la mécanique des milieux continus est la base des matières dérivées telles que la résistance des matériaux (RDM) ou la mécanique des matériaux et des structures. La théorie d’élasticité, qui occupera un chapitre dans ce manuel, sera abordée de manière à ce que l’étudiant puisse avoir une idée profonde et pratique sur cette théorie qui représente un passage obligé avant toute autre théorie de comportement. Cette nouvelle édition de l’ouvrage, a été revue et augmentée en ajoutant beaucoup d’applications corrigés. IL s’adresse aux étudiants de génie civil et de génie mécanique ainsi de travaux publics en premier lieu qu’ils soient dans les Écoles d’ingénieurs ou au système LMD. Sans oublier, bien-sûr les nouvelles disciplines telles que la biomécanique. Toutefois, la mécanique des milieux continus est une discipline qui intéresse une multitude de domaines aussi divers que la météorologie, l’astrophysique et la cosmologie. Certains champs de mathématiques, même, ont été ‘’boostés’’ sous l’influence de cette discipline. Il pourra, aussi, servir de manuel pour les enseignants ainsi que pour les doctorants qui ont, parfois, omis de garder leurs notes de cours. Certaines applications seront résolues grâce au logiciel très utile MATLAB. Ceci pourrait inciter les étudiants à mieux le maitriser. Il est nécessaire de souligner que les applications dans ce manuel sont, en partie, tirées des ouvrages de référence et, en partie, proposées par l’auteur lui-même. Enfin, il est indispensable de remarquer que cet ouvrage n’a nullement la prétention d’être exhaustif. Néanmoins, il est en amélioration continue et ce grâce au feed-back entre l’auteur et les lecteurs.

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Avant - propos deuxième édition 03
Avant - propos premiére édition 05
Table des matières 07
Chapitre 1 : Rappel d’analyse vectorielle et tensorielle 11
I-1. Introduction 12
I-2. Définition d’un scalaire 13
I-3. Définition d’un vecteur 13
I-4. Calcul vectoriel 14
I-4-1. Produit scalaire 14
I-4-2. Produit vectoriel 14
I-4-3. Le produit mixte ou triple 15
I-4-4 .Le trièdre droit ou direct 15
I-4-5. Définition d’un champ 16
I-4-6. La convention de sommation (ou la convention d’Einstein) 16
 Exercice d’application avec solution 18
I-4-7. Gradient d’un champ scalaire 19
I-4-8. Divergence d’un champ de vecteurs 21
I-4-9. Rotationnel d’un champ de vecteurs 21
I-4-10. Laplacien d’un champ scalaire 22
 Exercice d’application avec solution 22
I-5. Symbole de Kronecker 23
I-6. Symbole de permutation (ou de Lévi-Civitta) 23
 Exercice d’application avec solution 23
I-7. L’identité    24
 Exercice d’application avec solution 24
I-8. Changement de base (transformation de coordonnées) 25
I-9. Analyse tensorielle 27
I-9-1. Définition d’un tenseur 27
I-9-2. Opérations sur les tenseurs 29
I-9-2-1. Produit tensoriel 29
I-9-2-2. Contraction
 Exercice d’application avec solution
I-9-2-3. produit contracté de deux tenseurs
 Exercice d’application avec solution
I-9-2-4. Trace d’un tenseur 31
I-9-2-5. Déterminant d’un tenseur d’ordre
I-9-3. Tenseurs isotropes 32
I-10. Théorème de la divergence 30
I-11. Vecteurs propres et valeurs propres d’un tenseur cartésien d’ordre deux 33
 Exercice d’application avec solution
I-12. Décompositions d’un tenseurs cartésiens d’ordre deux 35
I-12-1. Décomposition en partie symétrique et partie antisymétrique 39
I-12-2. Décomposition en partie sphérique et partie déviatorique
 Exercice d’application avec solution
I-12-3. Décomposition polaire 39
I-13. Théorème de Cayley-Hamilton 41
 Exercice d’application avec solution 39
Chapitre 2 : Cinématique des milieux continus 43
II-1. Concept de milieu continu 44
II-2. Continuité des transformations : configuration 46
II-3. Mouvement d’un milieu continu 47
II-4. Trajectoire 48
II-5. Vecteur vitesse 48
II-6. Lignes de courant 48
II-7. Dérivées particulaire (ou matérielle) 49
II-8. Étude de la déformation 49
II-9. Décomposition polaire du tenseur gradient de la déformation 54
II-10 .Variation de longueur 57
II-11. Variation d’angle 58
II-12. Variation de volume 58
II-13.Transformée de l’aire 58
 Exercice d’application avec solution 59
II-14. Vecteur déplacement 66
II-15. le tenseur des déformations linéarisé
II-16.Signification géométrique des composantes du tenseur de déformation infinitésimal
II-17 .Décomposition du tenseur de déformation en partie sphérique et partie déviatorique
II-18 .Dérivée particulaire d’une intégrale de volume (théorème du transport)
II-19.Lemme fondamentale de la physique (théorème de l’intégrale nulle)
Chapitre 3 : Lois de conservation 79
III-1. Introduction 80
III -2. Définition d’une loi de conservation
III-3. Conservation de la masse
 Exercice d’application avec solution
III-4. Hypothèse de Cauchy 85
III-5. Loi de conservation de la quantité de mouvement 80
III-6 .Théorème de Cauchy 87
III-7. Signification des composantes du tenseur des contraintes de Cauchy 88
III-8. La symétrie du teneur des contraintes de Cauchy
 Exercice d’application avec solution
III-9. Le vecteur contrainte 91
 Exercice d’application avec solution
III-10. Les équations de compatibilité
 Exercice d’application avec solution
III-11. Autres tenseurs de contraintes 89
III-12. Loi de conservation de l’énergie. Premier Principe de la
thermodynamique. L’équation de l’énergie 105
 Exercice d’application avec solution 109
Chapitre 4 : Elasticité linéaire 113
IV-1. Introduction 114
IV-2 .Loi de comportement élastique linéaire 117
IV-3. Homogénéité et anisotropie 121
IV-3-1. homogénéité
IV-3-2. Anisotropie 121
IV-4 .Loi de Hooke en élasticité homogène et isotrope 122
IV-5. Élasticité anisotrope 125
IV-5-1. Matériau monoclinique 125
IV-5-2. Matériau orthotrope 126
IV-5-3. Matériau isotrope transverse 128
IV-6. Équations de Navier 129
IV-7. Les équations de compatibilité en fonctions des contraintes (équations de Beltrami) 130
IV-8. Principe de superposition 131
IV-9. Résolution des problèmes d’élastostatique 132
IV-10 .Exemples de problèmes d’élastostatique 135
IV-10-1. Problème de compression hydrostatique 135
IV-10-2. Traction simple 139
 Exercice d’application avec solution 146
IV-11. Élasticité plane 152
IV-11-1 .État de contraintes planes 153
IV-11-2. État de déformations planes 155
IV-11-3 .Problèmes axisymétriques 158
IV-11-4. Résolution des problèmes d’élasticité plane 162
 Exercice d’application avec solution 163
IV-11-5. Problème de flexion pure 167
 Exercice d’application avec solution 171
IV-11-6 .Torsion uniforme 176
IV-11-6-1. Cas d’un arbre de section circulaire 177
IV-11-6-2. Cas d’un arbre de non-circulaire 181
IV-11-6-3. Principe de Saint-Venant sur le problème de torsion 186
 Exercice d’application avec solution 197
IV-12. La forme générale de la fonction d’Airy en coordonnées polaires 200
IV-12.1. Problème de concentration de contrainte dans une plaque trouée 203
IV-12.2. Cylindre épais creux très long fixé aux extrémités 210
 Exercices résolus 212
Bibliographie.
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