Algèbre 3

Ce livre d’algèbre linéaire : Réduction des endomorphismes en dimension finie avec exercices corrigés s’adresse spécialement aux étudiants de deuxième année des cycles préparatoires des écoles d’ingénieurs mais il peut être utilisé avec profit par tout étudiant se destinant à des études supérieures d’ingénieur ou en licence scientifique telle que Mathématique et Informatique (domaine MI), Sciences et Techniques (domaine ST), Sciences de la matière (domaine SM) et Sciences de la nature et de la vie (domaine SNV). La démarche suivie pour la rédaction de cet ouvrage tient compte de tous les aspects pédagogiques du système LMD, elle a pour but d’exposer aussi sim- plement que possible, mais de manière rigoureuse et méthodique, les princi- paux résultats de base pour l’ingénieur portant sur les techniques de réduction des endomorphismes en dimension finie, sans tomber dans une abstraction trop théorique, car les auteurs souhaitent rester très proches du lecteur. Le cours et les exercices proposés sont facilement accessibles, les énoncés sont clairs et d’un grand intérêt mathématique et appliqué. Le livre contient quatre chapitres, chaque chapitre traite complètement le sujet qui lui est consacré avec de nombreux exemples d’illustrations et des calculs effectifs, il se termine par 10 QCM avec solutions, 20 exercices intégra- lement corrigés et 10 exercices supplémentaires accompagnés d’indications. Toutes les démonstrations des résultats ne sont pas données, seules celles qui présentent un intérêt certain sont fournies. Le contenu du premier chapitre peut être considéré comme un détour utile pour rappeler la notion des applications linéaires, les opérations algé- briques et les propriétés qui lui sont attachées. En réalité, la réduction des endomorphismes et des matrices ne peut se faire sans la connaissance plus ou moins parfaite des résultats fondamentaux des applications linéaires, sous- espaces vectoriels invariants par un endomorpisme, et polynômes d’un endo- morphisme. Le but du second chapitre est de trouver une base d’un espace vectoriel E de dimension finie telle qu’un endomorphisme f sur E dans cette base ait la forme réduite la plus “simple” possible : diagonale, triangulaire ou forme ré- duite de Jordan. Un moyen naturel pour de telles réductions correspond à une décomposition en sous-espaces propres. On définit alors les valeurs propres et les vecteurs propres d’un endomorphisme. Les polynômes qui nous inté- ressent ici ont pour racines les valeurs propres de f,le polynôme caractéris- tique et le polynôme minimal de f.Les propriétés de réductions sont étroite- ment liées à ces deux polynômes. Une décomposition en sous-espaces propres représente donc un grand nombre des propriétés recherchées pour une réduc- tion : les espaces propres sont stables par l’endomorphisme ; l’intersection de deux sous-espaces propres est réduite au vecteur nul ; la restriction de l’endo- morphisme à un sous-espace propre est une homothétie. Au troisième chapitre on s’intéresse à la question naturelle suivante : étant donnée une matrice carrée A,associée à un endomorphisme défini sur un es- pace vectoriel de dimension finie, comment calculer une matrice diagonale, triangulaire ou de Jordan qui est semblable à Aet comment calculer une ma- trice de passage ? Dans les trois cas, il faut commencer par calculer puis scin- der le polynôme caractéristique de A.Le théorème de Cayley-Hamilton affirme que le polynôme caractéristique de As’annule en Aet que le polynôme mini- mal de Aest un diviseur de son polynôme caractéristique. De plus, Ase dé- compose en une partie diagonalisable et une partie nilpotente (décomposition de Dunford). L’algorithme de calcul de la réduction de Aconsiste pour chaque valeur propre de A,à calculer les sous-espaces propres et éventuellement les sous-espaces caractéristiques de A, trouver une base de chaque sous-espace propre et compléter cette base s’il y a lieu, cela conduit à une diagonalisa- tion ou une trigonalisation de la matrice A.Si maintenant la multiplicité de la valeur propre λde Aest m,alors qu’il n’y a que l<mvecteurs propres indé- pendants, il faut trouver encore m−l autres vecteurs supplémentaires. Pour chaque vecteur propre vdéjà trouvé, on résout le système (A−λI)w= voù w est déterminé linéairement indépendant des vecteurs déjà écrits. S’il manque encore des vecteurs, on résout également le système (A−λI)u= wet ainsi de suite ... On obtient ainsi une base de E,on trouve alors la matrice de passage P de la base canonique de Evers la nouvelle base construite, et finalement la forme réduite de Jordan de A. On présente au chapitre quatre, 4 applications immédiates de la diagonali- sation, trigonalisation et Jordanisation des matrices carrées, avec le calcul des puissances d’une matrice, la résolution des suites récurrentes linéaires, le cal- cul de l’exponentielle d’une matrice, et la résolution des systèmes différentiels lineaires. Tous les sujets traités couvrent le programme officiel et donnent quelques compléments pour les travaux personnels de l’étudiant sous forme de QCM et d’exercices supplémentaires. Il s’agit d’un ouvrage de référence complet, indispensable tant à l’étudiant qu’au professionnel, ce travail est conçu pour apporter une aide efficace et immédiate au lecteur. Les exercices proposés sont nombreux et variés, ils sont typiques des ques- tions posées aux travaux dirigés, aux examens et aux concours.