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Méthodes numériques appliquées et Optimisation

par: K. SAOUDI M.AYAD
Disponible
Pages 146
Dimensions 16*23,5
Publication 2024-02-08
Éditeur —
Papier : 950.00 DA Numérique: 475.00 DA

Le calcul scientifique est une discipline qui consiste à développer, analyser et appliquer des méthodes pour traiter des problèmes mathématiques variés que l’analyse, l’algèbre linéaire, la géométrie, l’approximation de fonctions, l’optimisation ou le calcul différentiel. Les méthodes numériques sont appliquées dans de nombreux problèmes posés par la physique, les sciences biologiques, les sciences de l’ingénieur, l’économie et la finance. Cet ouvrage s’adresse aux étudiants en première année Master ou en formation d’ingénieur, toutes les spécialités. Son objectif est de présenter à l'étudiant les outils nécessaires d'analyse numérique et d'optimisation. Ce live contient des concepts mathématiques théoriques et une mise en œuvre pratique sur des exercices d’applications facilitant la compréhension aux étudiants. Le contenu de cet ouvrage est structuré en trois chapitres. En fin de chapitre, les solutions détaillés des exercices sont développées et représentés graphiquement. Le premier chapitre décrit quelques méthodes appliquées à la résolution des systèmes d’équations linéaires et non linéaires, de l’interpolation et d’approximation, d’intégration numérique ainsi que la résolution d’équations différentielles ordinaires. Dans le deuxième chapitre, des classifications des problèmes aux dérivées partielles et des conditions aux limites sont présentés. Il décrit et explique aussi les méthodes de résolutions. En fin, le troisième chapitre abord les différentes techniques d'optimisation classiques et l’optimisation unique et multiple avec et sans contraintes

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Avant-propos 03
sommaire 05
Chapitre 1 : Rappels sur quelques méthodes numériques 09
1.1 Introduction 10
1.2 Résolution des systèmes d’équations 10
1.2.1. Systèmes d’équations linéaires 10
1.2.1.1. Méthode de Jacobi 12
1.2.1.2. Méthode de Gauss-Seidel 14
1.2...Systèmes d’équations non linéaires 14
1.2.2.1. Méthode de Newton 15
1.3 Intégration numérique 15
1.3.1. Méthode du trapèze simple 16
1.3.2. Méthode des trapèzes composite 17
1.3.3. Méthode de Simpson simple 18
1.3.4. Méthode de Simpson composite 18
1.4 Interpolation et approximation 19
1.4.1. Le polynôme de Lagrange 19
1.5 Equations différentielles ordinaires (EDO) 20
1.5.1. Le problème mathématique 20
1.5.1.1. Les équations du premier ordre 21
1.5.1.2. Les équations d’ordre supérieur 21
1.6 .Méthodes de résolution 21
1.6.1. Méthode d’Euler 21
1.6.2. Méthodes de Taylor d’ordre deux 22
1.6.3. Méthodes de Runge-Kutta 23
1.6.3.1. Runge-Kutta d’ordre 2 23
1.6.3.2. Runge-Kutta d’ordre 4 24
1.7 Résolution de systèmes différentiels 24
Exercices 25
Solution des exercices
Chapitre 2 : Equations aux dérivées partielles (EDP) 57
2.1 Introduction 58
2.2 Définitions 58
2.3 Classification des EDP linéaires du second ordre
2.4 Types de conditions aux limites 2.5 Méthodes de résolution 63
2.5.1 Méthode des différences finies
2.5.1.1Résolution d’une EDP elliptique en dimension un 1D
2.5.1.1.1Conditions aux limites de Dirichlet homogènes
2.5.1.1.2Conditions aux limites de Dirichlet non-homogènes
2.5.1.1.3. Conditions aux limites de Neumann
2.5.1.1.4. Conditions limites mixtes Dirichlet-Neumann
2.5.1.2Résolution d’une EDP elliptique en dimension deux 2D
2.5.2. Méthode des éléments finis
2.5.2.1Résolution d’une EDP elliptique en dimension un 1D
2.5.2.1.1. Conditions aux limites de Dirichlet homogène
2.5.2.1.2Conditions aux limites de Dirichlet non-homogènes
2.5.2.1.3. Conditions aux limites de Neumann
2.5.2.1.4. Conditions limites mixtes Dirichlet-Neumann 60
Exercices 84
Solution des exercices 87
Chapitre 3 : Optimisation 105
3.1 Introduction 106
3.1.1. Définitions 106
3.2 Types d’optimisation 107
3.3 Algorithmes d’optimisation 108
3.3.1. Définition 108
3.3.2Catégories de problèmes résolus par les algorithmes
d’optimisation 108
3.3.3. Paramètres d’un algorithme d’optimisation 109
3.3.3.1. Approximation Initiale 109
3.3.3.2. Nombre d’Itérations 109
3.3.3.3. Vitesse de convergence 109
3.3.3.4. Critère d’arrêt
3.4 Optimisation sans contraintes 110
3.5 Condition d’optimalité 110
3.6 Principe des Méthodes à directions de descente 111
3.7 Méthode de gradient 112
3.7.1. Algorithme du gradient à pas fixe 112
3.7.2. Algorithme du gradient à pas variable
3.7.3. Algorithme du gradient à pas optimal 3.8 Méthode du gradient conjugué 112
3.9 Méthode de Newton 114
3.10. Optimisation avec contraintes 115
3.11. Conditions d’optimalité 116
3.11.1. Cas d’une contrainte d’égalités 118
3.11.2. Cas d’une contrainte d’inégalités 118
3.11.3. Cas d’une contrainte d’égalités et d’inégalités 119
3.12. Méthode du gradient projeté 120
Exercices 123
Solution des exercices 125
Références bibliographiques
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