Mathématiques supérieures Topologie générale
Ce cours contient quelques notions de topologie enseignées par le premier au- teur à l’Université d’Oran 1, Ahmed Ben Bella, Oran (Algérie), au premier semestre de la troisième année de licence mathématiques, ce qui correspond au niveau L3 et M1 mathématiques. Le contenu est classique et s’appuie sur des ouvrages que l’on trouvera dans la bibliographie N. Bourbaki, F. Riesz et S. Nagy, A. Faisant ... Ce cours contient des exemples pour illustrer les notions abstraites et les aspects techniques de la topologie et des espaces topologiques. Cet ouvrage s’adresse aux étudiants qui veulent poursuivre leur cursus de mathématiques pures ou de mathématiques appliquées. Le premier chapitre est consacré à la topologie générale et à titre très particulier à la topologie des espaces métriques. Le second chapitre concerne la continuité des applications entre espaces topo- logiques, la notion de topologie produit et de la topologie quotient. Le chapitre trois porte sur les espaces métriques complets. L’intérêt des suites de Cauchy est que dans des espaces métriques convenables (les espaces complets), on peut vérifier la convergence de certaines suites sans avoir à connaître à priori la limite. On cherchera donc à exhiber le plus possible d’espaces complets. La structure d’un espace métrique complet est très riche puisqu’elle cumule de forte propriétés algébriques et métriques, compatibles entre elles. Quand l’espace est complet, ré- soudre un problème se fait souvent au moyen d’un algorithme conduisant à une suite convergente : c’est là la puissante force du théorème du point fixe. La notion de compacité est étudiée au chapitre quatre, elle est d’une impor- tance fondamentale car c’est elle qui permet par exemple de montrer que des suites admettent des sous-suites convergentes sous des hypothèses appropriées portant principalement sur l’espace topologique auquel appartient la suite. On définit la no- tion de compacité en donnant les propriétés les plus classiques dans le cadre des espaces topologiques compacts. On exprime essentiellement la compacité dans le cadre des espaces métriques puis on étudie la compacité locale et le compactifié d’Alexandrov. On étudie au chapitre cinq une catégorie d’espaces topologiques d’une nature différente de ceux qui ont été vus jusqu’à présent : la connexité ne se relie pas à des notions de convergence. Concrètement, la connexité d’un ensemble traduit le fait que cet ensemble est d’un seul tenant, l’espace connexe n’admet pas de partition formée de deux ouverts disjoints, par exemple les seules parties connexes non-vides de la droite réelle sont les intervalles. L’image continu d’un connexe est connexe, on introduit aussi la notion de composante connexe, celle de connexité locale et de connexité par arcs dans un espace topologique. Au chapitre six on définit la convergence simple et uniforme des suites de fonc- tions entre deux espaces métriques. Ce chapitre contient des résultats fondamen- taux sur les espaces fonctionnels. Le théorème de Dini fourni une condition pour que la convegence simple des suites de fonctions réelles et monotones devient une convergence uniforme. Les résultats les plus important étant le théorème d’approxi- mation de Stone-Weierstrass, et le théorème de précompacuté d’Ascoli-Arzela dont la preuve est relativement compliquée. Le chapitre sept traite du cas des espaces vectoriels normés et des espaces de Banach : il contient quelques théorèmes de base de l’analyse fonctionnelle tels que le théorème de Riesz sur la non compacité de la boule unité en dimension infi- nie, séries normalement convergentes, applications linéaires continues, théorème de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus, de l’application ouverte et théorème du graphe fermé, etc... Le huitième chapitre expose la théorie élémentaire des espaces de Hilbert : produit scalaire, orthogonalité, projections, théorème de représentation de Riesz, adjoint des opérateurs linéaires, opérateurs symétriques ou auto-adjoints, isomé- triques, unitaires et normaux. Ce dernier chapitre contient aussi quelques rudiments de la théorie spectrale : ensemble résolvant, spectre et valeurs propres. On décrit essentiellement la structure du spectre des opérateurs compacts sur un espace de Hilbert. Chaque chapitre se termine avec dix QCM et trente exercices complètement cor- rigés.
Autres livres de : Bekkai MESSIRDI Abdellah GHERBI
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