Exercices corrigés de Mécanique rationnelle

On présente dans ce manuel un recueil d’exercices de mécanique rationnelle permettant aux étudiants de L2 d’assimiler les notions de base de ce module réputé difficile. Le module est réparti en 6 chapitres : Rappels sur le calcul vectoriel, Statique du solide, Cinématique du solide, Géométrie des masses, Cinétique et Dynamique des solides et des systèmes matériels. Dans le chapitre introduction, sont exposés les outils mathématiques nécessaires pour interpréter et analyser un problème de mécanique. Le chapitre 1 traite des rappels sur le calcul vectoriel. Le chapitre 2 traite de l’équilibre des corps rigides, selon la nature du problème l’étudiant peut être amené à résoudre un problème de point matériel, ou se limiter à un plan de l’espace dans le traitement de l’équilibre. Dans le cas général, Le problème est souvent spatial. Le chapitre 3 traite de la cinématique du solide rigide. Le préalable à toute caractérisation cinématique (calcul de la trajectoire, de vitesse et d’accélération de points appartenant à un solide) passe par la définition d’un repère lié au solide : on substitue à celui-ci un repère qui lui est lié et qui peut être construit avec 3 points, lui appartenant, pris à des intervalles de temps réguliers ou irréguliers. Chaque état du repère remplace l’état du solide à un instant précis. Le repère peut être défini et donné avec une loi de mouvement. Sur la base de ces informations il est possible d’étudier le mouvement d’un solide par rapport à un autre. A l’issue de ce chapitre l’étudiant saura manipuler 3 méthodes pour le calcul de vitesse et d’accélération de points d’un solide : dérivation, champs des vitesses et composition de mouvements. Comme le calcul des caractéristiques de mouvement peut être donné dans n’importe quelle base, l’étudiant saura faire la différence entre un repère d’étude et un repère de projection et saura faire les changements de base pour exprimer les données de mouvement dans la base appropriée de son choix. Le chapitre 4 traite des propriétés de la masse en état de repos ou en état de mouvement : masse, centre d’inertie et moment d’inertie (ou généralement tenseur d’inertie). Pour étudier l’équilibre d’un solide il est nécessaire de connaître son centre d’inertie, de même pour résoudre un problème de dynamique, il est nécessaire de connaître ce point pour déterminer son équation de mouvement ou calculer certaines forces inconnues dans un mouvement de translation ou la part de translation dans un mouvement général. Le moment d’inertie, caractérise la masse dans un mouvement de rotation et lie le moment d’une force ou un couple appliqué à un solide à son accélération angulaire. Pour imposer une accélération quelconque au solide ou lui imprimer une certaine loi de mouvement dans un mouvement général ou de rotation l’étudiant doit savoir calculer le moment d’inertie d’un solde qui représente sa résistance au mouvement. Le moment d’inertie caractérise l’inertie d’un solide selon un axe de rotation bien défini alors que la matrice d’inertie synthétise cette inertie selon toutes les directions de l’espace et peut informer sur le comportement général d’un solide dans un mouvement de rotation quelconque. Le chapitre 5 traite de la cinétique. L’étudiant à l’issue de ce chapitre doit connaître les calculs relatifs à la dynamique : quantité de mouvement, quantité d’accélération, moment cinétique, moment dynamique et énergie cinétique. Ces calculs caractérisent la masse en mouvement. Le chapitre 6 traite de la dynamique des solides ou systèmes matériels. La loi de Newton énoncée à l’origine et valide pour un point matériel se transforme en deux théorèmes : théorème de la résultante dynamique qui s’applique pour les solides qui sont animés d’un mouvement de translation qu’il soit pur ou associé à une rotation et le théorème du moment dynamique qui s’applique pour les solides animés d’un mouvement de rotation qu’il soit pur ou associés à une translation. Ces deux théorèmes expriment l’équivalence entre les mouvements d’un solide (observés sur le solide) et leurs causes qui sont les actions mécaniques (forces, moments appliqués). Connaissant ces causes il est possible de prévoir le mouvement du solide et inversement connaissant le mouvement d’un solide il est possible d’en déduire certaines forces ou moments inconnus. Les problèmes de la dynamique sont très variés dans leurs formulations et dans leurs résolutions, je me suis efforcé dans ce recueil, de transmettre aux étudiants de L2, les principes de base leur permettant de bien identifier les inconnues dans un problème de dynamique et de bien formuler les équations régissant des problèmes basiques. Nous avons choisi, pour chaque chapitre de ce module, des exercices appropriés pour l’assimilation des notions et principes de base à comprendre