Vibrations & ondes
Au sujet de ce manuel Ce manuel s’adresse aux étudiants de deuxième année des filières scien- tifiques et techniques des universités et écoles d’ingénieurs d’Algérie. Il cor- respond au programme officiel du module Vibrations et Ondes mécaniques enseigné en deuxième année (L2-S3) des filières ST-Sciences et Technologie, des filières SM-Sciences de la Matière et des classes préparatoires scienti- fiques. Ce manuel est le fruit d’une longue pratique pédagogique dans cette ma- tière et résulte de longues discussions avec les collègues qui ont eu à assurer cet enseignement. Les exercices proposés dans ce manuel ont été confection- nés à partir d’une compilation des séries d’exercices et des sujets d’examens proposés par les enseignants du module Vibrations et Ondes Mécaniques à la Faculté de Physique de l’Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene. Les objectifs assignés par le programme se résument à l’initiation des étu- diants de deuxième année aux phénomènes de vibrations mécaniques et de propagation des ondes mécaniques. Ce manuel essaie de répondre au mieux aux recommandations du programme officiel. Le formalisme de Lagrange,utilisé dans ce cours, est introduit le plus sim- plement possible dans le cas particulier d’un système à une particule possé- dant un degré de liberté. La classification des différents types de liaison n’est pas abordée. Il nous a semblé opportun d’insister sur la notion de force géné- ralisée et d’introduire, dans le cas des systèmes dissipatifs, la notion de fonc- tion dissipation. La généralisation aux systèmes à plusieurs degrés de liberté est énoncée sans démonstration. L’étude des oscillations est volontairement restreinte aux oscillations de faible amplitude. Cette démarche est présentée dans le chapitre intitulé Oscil-lations libres des systèmes à un degré de liberté. Les seules forces de frotte- ment prises en comptes sont les forces de frottement de viscosité proportion- nelles à la vitesse. Les notions de résonance et d’impédance mécanique font l’objet du chapitre suivant consacré aux oscillations forcées des systèmes à un degré de liberté. L’étude des systèmes oscillatoires à plusieurs degrés de li- berté est restreinte aux systèmes possédant deux degrés de liberté. La méthode matricielle de recherche des modes n’est pas utilisée en raison des connais- sances pré-requises en calcul matriciel. Nous avons opté pour une démarche basée sur la superposition de solutions particulières sinusoïdales. L’étude des oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté permet de conso- lider les notions de résonance et d’impédance et d’introduire le phénomène d’anti-résonance. Les oscillateurs électriques et les analogies entre les sys- tèmes électriques et mécaniques font l’objet du chapitre suivant. Le programme officiel recommande d’introduire la propagation des ondes mécaniques en utilisant le modèle de la chaîne linéaire et assurer ensuite le passage du milieu discret au milieu continu ; nous avons estimé que cette dé- marche, bien que très intéressante, n’était pas adaptée au niveau de nos étu- diants car elle introduit la notion d’onde par des concepts relativement diffi- ciles tels que la notion de dispersion. Pour cela nous avons préféré introduire la propagation des ondes mécaniques à travers le modèle plus classique de la corde vibrante qui permet de mettre en évidence la différence entre vi- tesse de vibration et vitesse de propagation. Pour des raisons pédagogiques, nous avons préféré établir l’équation de propagation à l’aide du formalisme de Newton plutôt qu’en utilisant le formalisme de Lagrange. L’équation de propagation est résolue par la méthode de d’Alembert présentée dans un cha- pitre intitulé Généralités sur les phénomènes de propagation. La méthode de Fourier est présentée lors de la résolution du problème des oscillations libres d’une corde de longueur finie. Les notions d’impédance, de modes propres et de résonance sont définies dans ce chapitre. La propagation des ondes élastiques dans les solides est abordée dans le chapitre suivant où, volontairement, nous avons préféré commencer par les systèmes continus non dispersifs puis aborder le modèle de la chaîne linéaire et finir avec le passage à la limite d’un milieu discret vers un milieu continu. La propagation des ondes acoustiques dans les fluides est abordée dans le dernier chapitre. Les notions d’intensité acoustique et de niveau sonore sont présentées dans des cas simples. Afin de combler les lacunes éventuelles des étudiants venant de première année, il nous a semblé nécessaire de consacrer un chapitre entier (Annexe) à la résolution des équations différentielles du second ordre à coefficients constants. L’étude de systèmes oscillatoires constitués de solides en rotation nécessi- tant l’utilisation de notions de mécanique du solide (Moment d’inertie, Théo- rème de Huyghens,....) pose de sérieux problèmes aux étudiants car la méca- nique du solide ne figure plus au programme officiel de la première année des universités . Pour ces raisons nous avons consacré une annexe aux connais- sances minimales de dynamique du solide nécessaires pour la résolution des exercices proposés. A la demande des collègues qui enseignent dans les filières du génie élec- trique, nous avons ajouté deux annexes consacrées respectivement aux sys- tèmes électrodynamiques et à la propagation des ondes électriques dans les lignes électriques. Pour satisfaire les nombreuses demandes des étudiants nous proposons à la fin de ce document des sujets d’examens avec corrigé. Enfin, une bibliographie sommaire présente les principaux ouvrages utili- sés pour la confection de ce manuel. Gestion du temps pédagogique Le contenu de ce programme est prévu pour être enseigné pendant un se- mestre de 15 semaines, à raison de un à deux cours hebdomadaires de 1h30mn et une séance de travaux dirigés de 1h30mn par semaine. Afin de couvrir la plus grande partie du programme officiel pendant cette durée une gestion ri- goureuse du temps pédagogique ainsi qu’une coordination-synchronisation entre les cours et les travaux dirigés sont indispensables. Nous recomman- dons la progression ci-dessous (Tableau 1) dans laquelle la durée réelle du semestre (12-14 semaines) est répartie assez équitablement entre les vibra- tions et les ondes.
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