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Mathématiques supérieures :Analyse 1

★ ★ ★ ★ ★ (1 Avis des lecteurs)
par: Bekkai Sofiane et sanaa MESSIRDI
Disponible
Pages 460
Dimensions 16*23,5
Publication 2020-10-18
Éditeur —
Papier : 1 800.00 DA Numérique: 900.00 DA

L’analyse mathématique réelle est un langage universel qui sert à décrire de nom- breux phénomènes en sciences et techniques, par exemple. Il n’est donc pas étonnant de retrouver cette matière enseignée au début des cursus universitaires scientifiques car elle est nécessaire pour pouvoir exprimer des concepts plus avancés les années universitaires suivantes. Ainsi il est crucial pour un(e) étudiant(e) d’en maîtriser son vocabulaire et sa grammaire au plus tôt. Pourtant, même si elle est un domaine des mathématiques, il n’est pas nécessaire d’être un(e) mathématicien(ne) averti(e) pour l’apprendre, fort heureusement. Ce livre est destiné aux étudiants de première année des Premiers Cycles Universi- taires Scientifiques du programme LMD (Licence-Master-Doctorat) et même à ceux de deuxième année des études des sciences appliquées. Il sera une référence pour tous ceux qui poursuivent des études de sciences de l’ingénieur principalement et pourrait s’étendre aux études d’économie, d’agronomie, de médecine ou de biolo- gie. Il contient la première partie du cours d’analyse mathématique que j’ai ensei- gné pendant plusieurs années universitaires pour les étudiants de première année des filières sciences exactes, mathématiques et informatique, sciences et techniques sciences de la matière, sciences de la nature et de la vie et sciences de l’ingénieur. C’est en enseignant que j’ai structuré dans ma tête cet ouvrage, j’ai rassemblé toutes les notes après chacune de mes leçons ainsi que les observations qu’elles me suggé- raient. L’idée de ce cours est de proposer, aux étudiants comme aux enseignants, un cours de mathématiques essentiellement identique à ce que je produirai au tableau en in- corporant bien sûr dans le texte de nombreuses remarques orales. Le choix des matières abordées dans ce cours est conforme au programme officiel de l’unité pédagogique Analyse I, arrêté par le Ministère de l’Enseignement Supé- rieur et de la Recherche Scientifique (MESRS) et par les institutions internationales d’enseignement supérieur. Réparti en huit chapitres, ce premier volume fait une large place à la théorie des fonctions réelles à variable réelle. On y présente de façon progressive et rigoureuse les concepts centraux du corps des nombres réels et complexes, la notion de conver- gence des suites numériques, celle des limites de fonctions, de continuité, de déri- vabilité et de développements limités au voisinage d’un point et à l’infini. Les premières notions d’analyse sont d’abord définies, elles sont toujours motivées par des exemples d’illustrations, souvent simples et classiques car on peut facilement forger son intuition sur des situations élémentaires. Leurs propriétés sont ensuite énoncées sous forme de théorèmes, lemmes et propositions. Des démonstrations techniques sont présentées dans une approche pédagogique active accessible aux étudiants. Chaque chapitre comporte un cours complet, simple et concis, on y ajoute 30 exer- cices à la fin de chaque chapitre, soit au total 240 exercices sont présentés avec corri- gés détaillés pour bien approfondir la matière. La sélection des exercices est orientée vers la compréhension des concepts les plus basiques, les problèmes à résoudre sont accessibles à tous les étudiants presque, souvent ils ne font pas appel à des astuces trop poussés. Le but est d’assurer aux étudiants une bonne progression dans le cours et doivent être capable de faire tous les exercices ou presque. Quelques exercices plus tech- niques sont proposés pour consolider leurs connaissances et les familiariser avec les outils de l’analyse mathématique réelle. Tout est mis en œuvre pour assurer une entrée réussie dans le monde fascinant de l’analyse mathématique. Cet ouvrage constitue un bon support de cours pour les enseignements introductifs d’analyse mathématique. Je le conseille fortement aux étudiants destinataires ainsi qu’aux enseignants.

Afficher la table des matières
1 Le corps des nombres réels.
1.1 Généralités
1.1.1 Relation d’ordre sur un ensemble
1.1.2 Bornes supérieure et inférieure
1.2 Le corps des réels R
1.2.1 Propriétés de la somme dans R
1.2.2 Propriétés du produit dans R
1.2.3 Rest un corps totalement ordonné
1.2.4 Quelques formules utiles
1.2.5 Intervalles de R
1.2.6 Majorants, minorants, bornes supérieure et inférieure dans R 8
1.2.7 Axiomes de la borne supérieure et inférieure 10
1.2.8 Caractérisation des bornes supérieures et infé-rieures 10
1.2.9 La valeur absolue d’un nombre réel 13
1.2.10 Partie entière et racine n-ième d’un nombre réel 15
1.2.11 Développements décimaux 18
1.2.12 Topologie de la droite réelle 19
1.3 Exercices corrigés 24
2 Le Corps des nombres complexes 49
2.1 Notion de corps 49
2.2 Construction du corps des complexes 50
2.2.1 Notations et conventions 51
2.2.2 Propriétés élémentaires des nombres complexes 51
2.3 Puissances et racines 53
2.3.1 Exponentielle complexe 53
2.3.2 Racines n-ièmes d’un complexe 54
2.4 Résolution des équations du second degré dans C 56
2.5 Applications trigonométriques 56
2.5.1 Rappel de trigonométrie 56
2.5.2 Développement de cosna,sinnaet tanna 57
2.5.3 Linéarisation de cospa, sinpa 58
2.5.4 Résolution de l’équation acosx+ bsinx= c 59
2.6 Nombres complexes et transformations 59
2.6.1 Écriture complexe d’une translation 60
2.6.2 Écriture complexe d’une homothétie 60
2.6.3 Écriture complexe d’une rotation 61
2.6.4 Similitudes dans le plan complexe 62
2.7 Exercices corrigés 64
3 Suites numériques 101
3.1 Définitions et généralités 101
3.2 Convergence d’une suite numérique 103
3.3 Suites extraites 106
3.4 Suites bornées 109
3.5 Encadrements et opérations algébriques sur les suites 111
3.6 Extension aux limites infinies 115
3.7 Quelques exemples de suites 119
3.8 Suites monotones 123
3.9 Suites adjacentes 126
3.10 Suites récurrentes 127
3.10.1 Limites éventuelles d’une suite récurrente 129
3.10.2 Monotonie d’une suite récurrente 130
3.11 Suites de Cauchy 137
3.12 Théorème de Bolzano-Weierstrass 140
3.13 Exercices corrigés 142
4 Fonctions réelles à variable réelle 187
4.1 Généralités sur les fonctions numériques 187
4.2 Limite d’une fonction 192
4.2.1 Limites à droite et à gauche 197
4.2.2 Propriétés des limites 199
4.2.3 Opérations sur les limites 200
4.2.4 Cas des limites infinies 206
4.2.5 Quelques limites usuelles 207
4.2.6 Quelques résultats importants 207
4.3 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances 210
4.3.1 Fonction logarithme néperien 210
4.3.2 Fonction logarithme de base a 211
4.3.3 Fonction exponentielle 211
4.3.4 Fonctions puissances 211
4.4 Exercices corrigés 213
5 Continuité des fonctions réelles 239
5.1 Continuité des fonctions réelles 239
5.1.1 Propriétés des fonctions continues 242
5.1.2 Théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues 246
5.1.3 Fonctions continues strictement monotones 250
5.1.4 Théorème du point fixe 253
5.2 Exercices corrigés 255
6 Fonctions réciproques usuelles 277
6.1 Fonctions racine n-ième 277
6.2 Fonctions circulaires réciproques 279
6.2.1 La fonction arcsinx 279
6.2.2 La fonction arccosx 281
6.2.3 La fonction arctanx 282
6.2.4 La fonction arccotx 284
6.3 Fonctions hyperboliques 288
6.4 Fonctions hyperboliques réciproques 291
6.4.1 La fonction argsinhx 291
6.4.2 La fonction argcoshx 292
6.4.3 La fonction argtanhx 293
6.5 Exercices corrigés 295
7 Fonctions dérivables 319
7.1 Dérivée en un point 320
7.2 Dérivées à droite et à gauche en un point 325
7.3 Dérivabilité et continuité 327
7.4 Opérations sur les fonctions dérivables 328
7.5 Dérivées successives 335
7.6 Propriétés des fonctions dérivables 338
7.7 Théorème de Rolle 339
7.8 Théorème des accroissements finis 340
7.9 Sens de variation d’une fonction dérivable 343
7.10 Règle de l’Hospital 345
7.11 Formules de Taylor et variantes 346
7.12 Inégalité de Taylor Lagrange 353
7.13 Exercices corrigés 355
8 Développements limités 381
8.1 Comparaison des fonctions au voisinage d’un point 382
8.2 Développements limités 386
8.3 Développements limités usuels 390
8.4 Opérations sur les développements limités 393
8.4.1 Somme des développements limités 393
8.4.2 Produit des développements limités 395
8.4.3 Quotient des développements limités 396
8.4.4 Développement limité d’une fonction composée 398
8.4.5 Intégration d’un développement limité 399
8.5 Développements limités généralisés 402
8.6 Applications des développements limités 403
8.6.1 Calcul de limites - équivalents 403
8.6.2 Etude locale et branches infinies de fonctions 406
8.7 Exercices corrigés 409
Bibliographie 456
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