Mathématiques supérieures Analyse 3

Ce livre d’analyse avec exercices corrigés s’adresse spécialement aux étu- diants de deuxième année des cycles préparatoires des écoles d’ingénieurs mais il peut être utilisé avec profit par tout étudiant se destinant à des études supérieures d’ingénieur ou en licence scientifique telle que Mathématique et Informatique (domaine MI), Sciences et Techniques (domaine ST), Sciences de la matière (domaine SM) et Sciences de la nature et de la vie (domaine SNV). La démarche suivie pour la rédaction de cet ouvrage tient compte dans tous les aspects pédagogiques du système LMD, elle a pour but d’exposer aussi simplement que possible, mais de manière rigoureuse et méthodique, les principaux résultats de base de l’analyse mathématique pour l’ingénieur, sans tomber dans une abstraction trop théorique, car les auteurs souhaitent rester très proches du lecteur. Le cours et les exercices proposés sont facile- ment accessibles, les énoncés sont clairs et d’un grand intérêt mathématique et appliqué. Le livre contient dix chapitres, chaque chapitre traite complètement le su- jet qui lui est consacré avec de nombreux exemples d’illustrations et des cal- culs effectifs, il se termine par 10 QCM, 20 exercices intégralement corrigés et 20 exercices supplémentaires. Toutes les démonstrations des résultats ne sont pas données, seules celles qui présentent un intérêt certain sont fournies. Dans un premier chapitre, on rappelle ce qu’est l’intégrale simple (l’in- tégration pour les fonctions d’une seule variable réelle) et la primitive d’une fonction, ainsi que le théorème fondamental du calcul intégral. Ensuite, on définit les intégrales multiples doubles et triples ; on explique comment les calculer au moyen d’intégrales simples itérées, le théorème de changement de variables pour les intégrales multiples, en particulier pour les coordon- nées polaires, cylindriques et sphériques. Ces intégrales se rencontrent très fréquemment dans les calculs en physique, elles permettent, entre autres, de calculer l’aire, le volume, le centre de masse et le moment d’inertie d’un solide qui tourne autour d’un point ou d’un axe. Le second chapitre est consacré à l’analyse vectorielle où on introduit les opérateurs utilisés classiquement en physique (nabla, gradient, divergence, ro- tationnel et laplacien), les formes différentielles, les courbes et les intégrales curvilignes, les intégrales de surface, le flux d’un champ de vecteurs à travers une surface orientée, ainsi que les formules de Stokes et d’Ostrogradski. Au troisième chapitre on donne un sens aux intégrales dites impropres ou généralisées, lorsque la fonction à intégrer n’est plus définie sur l’intervalle d’intégration tout entier ou lorsqu’on souhaite calculer une intégrale sur un intervalle de longueur infinie (ce qui est fréquent en physique ou en probabi- lités). On pourra déterminer dans bien des cas la nature de l’intégrale consi- dérée en s’appuyant sur les critères généraux de convergence d’une intégrale impropre. Les intégrales impropres (convergentes) possèdent effectivement les mêmes propriétés de linéarité, d’additivité et de croissance que les intégrales de Riemann. Les changements de variable et l’intégration par parties doivent aussi être effectués avec précaution. Le but du chapitre quatre est de développer des techniques simples pour étudier les séries numériques : principaux théorèmes et critères de conver- gence, séries à termes positifs, séries alternées, règle d’Abel, etc. Au cinquième chapitre on s’intéresse aux problèmes de convergence des suites et des séries de fonctions, et aux propriétés de l’éventuelle limite et somme. Les notions de convergence étudiées sont la convergence simple ou ponctuelle, la convergence uniforme, la convergence absolue et la convergence normale, les résultats généraux sur les différents types de convergence des suites et séries de fonctions sont présentés avec détails et illustrations. Parmi les séries de fonctions, on traite au chapitre six les séries entières. Ces séries possèdent des propriétés de convergence remarquables, qui s’ex- priment pour la plupart à l’aide du rayon de convergence de la série, en parti- culier la fonction somme d’une série entière est indéfiniment dérivable terme à terme. On verra aussi comment exprimer des fonctions usuelles comme somme des séries entières (développement en série entière), on donne également un aperçu de l’intérêt des séries entières comme technique de résolution d’équa- tions différentielles Le chapitre sept aborde les séries trigonométriques, et les séries de Fou- rier, sous forme réelle et complexe, pour des fonctions données dans divers types d’intervalles. On donne des conditions de convergence d’une série de Fourier et on étudie les propriétés de sa somme, on cherche aussi sous quelles conditions une fonction périodique peut s’écrire comme somme d’une série de Fourier. La formule de Parseval donne une relation entre la fonction et ses coefficients, elle permet d’obtenir des formules explicites pour des sommes de séries, de plus, elle n’exige aucune hypothèse de régularité (du type continuité ou dérivabilité de la fonction), contrairement au théorme de convergence de Dirichlet. Le but du chapitre huit est d’introduire la transformée de Fourier pour les fonctions absolument intégrables. On donne les propriétés principales de cette stransformée : la transformée d’une dérivée et d’une convolution, les for- mules de Plancherel, Parseval et de réciprocité. La propriété qui fait que la transformée de Fourier est utilisable en pratique est qu’elle est inversible, on peut retrouver la fonction de départ si on connaît sa transformée de Fourier. Ensuite, on indique, à titre d’exercices, comment la transformée de Fourier permet de résoudre certaines équations aux dérivées partielles de la physique telles que l’équation des ondes et l’équation de la chaleur. Au chapitre neuf, on se sert d’un outil très puissant, la transformée de Laplace d’une fonction pour examiner les équations différentielles et aux dé- rivées partielles, les équations intégrales et les équations de convolution. La transformée de Laplace est une opération intégrale linéaire injective, la plu- part des opérations courantes sur la fonction originale telle que la dérivation, la translation, l’homothétie, la primitive et la convolution ont une traduction simple sur la transformée. La transformée de Laplace associe à une fonction du temps t,une fonction équivalente du domaine p.On peut également à l’aide de la table de la transformée de Laplace des fonctions usuelles, inverser ce processus. On calcule alors la transformée de Laplace inverse. En évaluant la transformée de Laplace de la dérivée d’une fonction, on remarque qu’elle per- met de convertir une équation différentielle en une équation algébrique, dont la solution est la transformée de la solution de notre équation différentielle. Pour finir, on utilise la transformée de Laplace inverse pour déterminer la so- lution. Le dixième chapitre développe les outils de bases pour l’étude des équa- tions aux dérivées partielles d’ordre 1 et 2 quasi-linéaires. On aborde la ré- solution des équations linéaires du premier ordre, on s’intéresse ensuite à la réduction aux formes canoniques des EDP quasi-linéaires du second ordre à deux variables indépendantes. Enfin, on donne les solutions formelles, par la méthode de séparation des variables, pour quelques exemples classiques d’équations aux dérivées partielles de la physique mathématique : l’équation des ondes ; l’équation de Laplace ; l’équation de la chaleur. Tous les sujets traités couvrent le programme officiel et donnent quelques compléments pour les travaux personnels de l’étudiant sous forme de QCM et d’exercices supplémentaires. Il s’agit d’un ouvrage de référence complet, indispensable tant à l’étudiant qu’au professionnel, ce travail est conçu pour apporter une aide efficace et immédiate au lecteur. Les exercices proposés sont nombreux et variés, ils sont typiques des ques- tions posées aux travaux dirigés, aux examens et aux concours.