Mathématiques supérieures Equations aux Dérivées Partielles
Ce livre intitulé "Équations aux dérivées partielles - Cours et exercices corrigés" est destiné pour les étudiants de 3ème année Licence Mathéma- tiques. Il peut être également utilisé par les étudiants de Master en mathé- matiques. Le contenu de ce livre, présenté en trois chapitres, est entièrement basé sur le programme national official de Licence Maths. Dans chaque chapitre nous avons pris le soin de présenter l’essentiel du cours et plusieurs exer- cices d’applications. Le premier est consacré à l’étude de l’équation aux dérivées partielles elliptique où la méthode de séparation des variables a été développée pour une équation aux dérivées partielles linéaire homogène d’ordre deux. Après la définition de l’équation de Laplace où l’on s’intéresse à leurs propriétés, on cherche la solution du problème de Dirichlet pour l’équation de Laplace en dimension deux dans un rectangle et un disque en utilisant la méthode de séparations des variables. Ensuite, on détermine le noyau de Poisson et les fonctions de Green. Enfin, on donne la solution du problème de Di- richlet pour l’équation de Laplace en dimension trois par la méthode de Fourier. Le chapitre 2 est divisé en trois parties. Dans la première, on cherche la solution de l’équation d’onde homogène et non-homogène posée sur la droite réelle par la formule de d’Alembert, suivi d’une méthode de sépara- tion des variables pour le problème homogènes dans un domaine borné. La deuxième partie est consacrée à la démonstration de la formule de Kirchhoff et de la formule de Poisson pour l’équation des ondes en dimen- sion trois et deux, respectivement. Dans la dernière partie, par la méthode de séparations des variables on détermine la solution de l’équation d’une corde vibrante et l’équation d’une plaque vibrante. L’ultime chapitre revient à la étude de l’équation aux dérivées partielles parabolique. Nous traitons le cas de l’équation de la chaleur homogène et non-homogène en une dimension dans domaine borné où l’on s’intéresse à leurs résolutions par la méthode de séparation des variables et la mé- thode de Fourier, respectivement. Ensuite, on donne une représentation de la solution de l’équation de la chaleur dans un domaine non-borné en utilisant la transformation de Fourier. Enfin, nous nous concentrons sur les techniques de résolution explicites de certaines types d’équations particu- lières : équations de Bernoulli, équations de Riccati et équation de Clairaut. Pour chaque chapitre, nous citons des exemples simples d’illustration. À la fin de chaque chapitre, nous proposons des exercices avec solutions sélectionnées convenablement pour chaque problème traité. Les exercices dans chaque chapitre ont été entièrement résolus comme TDs et Examens. En somme, nous souhaitons que le lecteur profite largement de ce pré- sent polycopié, en espérant qu’il sera bien satisfait. Nous invitons notre ai- mable lecteur à nous envoyer leurs remarques et critiques afin de pouvoir enrichir ce document : aberkanid@gmail.com
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