La Combinatoire et ses Applications
La combinatoire est une branche passionnante des mathématiques. Ses pre- miers balbutiements se perdent dans un passé très lointain. Depuis l’antiquité et jusqu’à nos jours, son étude a captivité des générations de mathématiciens. On ne peut être qu’admiratif devant la subtilité d’un raisonnement combina- toire bien mené qui permet de prouver naturellement, de manière surprenante et convaincante, une identité combinatoire complexe. Dans cet ouvrage écrit dans un langage simple et accessible aux étudiants dès la deuxième année universitaire, le Professeur Sadek Bouroubi introduit et illustre par de nombreux exemples et exercices corrigés certaines techniques fondamentales de la combinatoire énumérative, science du dénombrement. L’objet de cette approche étant de définir et d’utiliser des outils performants permettant de calculer ou d’estimer le nombre d’éléments d’une partie d’un ensemble fini dont les éléments vérifient des propriétés données. Après avoir exposé et commenté les principaux principes de la combinatoire énumérative dans les quatre premiers chapitres, l’auteur nous invite à explorer la technique des fonctions génératrices qu’il applique à l’étude des partitions d’ensembles et des partitions d’entiers dans les trois chapitres suivants. Le dernier chapitre estconsacréàl’étudedelaformuled’inversiondeMöbiusetàquelquesunesde ses applications. Ces chapitres sont succincts et particulièrement bien agencés. Après avoir étudié les quatre premiers chapitres, le lecteur sera probablement surpris d’apprendre qu’on peut prouver ou obtenir aisément des identités com- binatoires complexes à l’aide simplement d’un double comptage. L’ouvragefaitréférenceàdenombreuxmathématicienscélèbresquiontcontri- bué de manière décisive aux progrès de cette science parmi lesquelles Leonard dePisemathématicienitaliensurnomméFibonacci.Ceprécurseurdelascience du dénombrement étudia les mathématiques en Algérie, à Bougie, au 12-ième siècle avant de transmettre le savoir qu’il avait alors acquis en occident. Une célèbre suite d’entiers porte son nom. Le lecteur apprendra que les mathématiciens anglais Isaac Newton et français Blaise Pascal, tous deux connus pour la célèbre formule du binôme, attribuée à Newton, faisant intervenir les coefficients binomiaux qu’on retrouve dans un triangle attribué à Pascal furent aussi des acteurs majeurs de cette grande aventure durant le 17-ième siècle. C’est au cours de ce même siècle que débuta le calcul des probabilités à partir de situations de jeux de hasard avec le ma- thématicien français Pierre de Fermat. Le 18-ième siècle vit la venue du grand mathématiciensuisseLeonhardEulersurnommélePrincedesmathématiciens. Ce génie de la science considéré comme l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps s’intéressa particulièrement à la théorie des partitions d’un entier. Au 20-ième siècle, des outils sophistiqués sont développés par les ma- thématiciens, indien Srinivasa Ramanujan et anglais Godfrey Harold Hardy pour poursuivre cette étude. Dans cet ouvrage, le Professeur Sadek Bouroubi aborde tous ces thèmes de recherche de manière très pédagogique. De nos jours, la combinatoire connait un regain d’intérêt considérable du fait de ses interactions avec l’informatique. Son étude est devenue incontournable dans le cursus de formation d’un ingénieur ou d’un mathématicien. Ce manuel répond à un réel besoin. En effet, il existe très peu de livres disponibles trai- tant de ce sujet important de manière aussi abordable pour un non spécialiste. Il m’est donc agréable de souhaiter à cet ouvrage pédagogique, original, utile et agréable à lire tout le grand succès qu’il mérite. Pr. Bencherif Farid Directeur de Recherche Département d’Algèbre et Théorie des nombres Faculté de Mathématiques de l’USTHB
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