la Méthode des Eléments Finis Application SAP 2000
La Méthode des Eléments Finis (M.E.F.) est, de nos jours, largement utilisée grâce à sa grande utilité aussi bien dans le domaine de la construction (mécanique, génie civil,...) que dans bien d’autres domaines techniques et pratiques (transfert de chaleur, hydrodynamique, dynamique de fusion du plasma, etc.). La MEF est une méthode de calcul des structures élaborée au début des années 50, lorsqu’un groupe de chercheurs (Turner, Klough, Martin et Topp) de l’Université de Californie avaient, pour la première fois, subdivisé un système (milieu) continu en plusieurs éléments discrets et avaient, ensuite, affecté les propriétés physiques et mécaniques à chaque élément puis résolu le problème avec les déplacements. Ces travaux ont été publiés en i956 [9]. Dans le cadre du développement de cette méthode, R. Melosh, en i963 [5], a montré que la MEF est en réalité une transformation de la méthode variationelle bien connue de Ritz. Elle a pour base mathématique la méthode des résidus pondérés. La MEF est donc une méthode numérique, permettant la résolution des équations différentielles décrivant le problème analysé en introduisant les conditions aux limites appropriées. Comme son nom l’indique, cette méthode est basée sur la discrétisation de la structure en éléments de dimensions finies suffisamment simples, liés entre eux par un nombre fini de points appelés nœuds. Toutes les forces extérieures sont considérées appliquées aux nœuds dans les directions de leurs possibles déplacements, introduisant ainsi la notion de degré de liberté global du système. En mécanique des milieux continus, les contraintes et les déformations en un point donné de l’élément peuvent être exprimées en fonction de ses déplacements et de ses efforts appliqués. Pour cela, on doit former la matrice de rigidité établissant la relation entre les forces extérieures et les déplacements nodaux ou les degrés de liberté locaux des éléments. Les éléments de cette matrice résultent de la synthèse des trois équations : statiques, physiques et géométriques décrivant le problème. Pour chaque nœud seront vérifiées les conditions d’équilibre et de compatibilité des déplacements. On aboutit, enfin, au système d’équations de résolution de la méthode, dont la solution permet d’obtenir les déplacements nodaux (inconnus) de toute la structure; ensuite, pour chaque élément, seront déterminés les efforts (contraintes) et les déplacements (déformations) inconnues. Cette démarche en MEF est unique pour les systèmes en barres (portiques, fermes,..) comme pour les systèmes continus (plaques, coques, massifs,..) ainsi que pour les systèmes mixtes. Pour les systèmes en barres, les éléments de la structure (barres) restent identiques aux éléments finis du modèle de calcul; les déplacements ainsi que les déformations et les efforts dans n’importe quelle section de l’élément peuvent donc être exprimés exactement en fonction des déplacements et des forces nodales. Pour les milieux continus, au contraire, la détermination de l’état de contrainte-déformation ainsi que l’établissement des conditions d’équilibre et de continuité de l’ensemble des éléments révèlent certaines difficultés puisqu’il serait impossible, dans certains cas, d’établir une relation exacte entre les efforts et les déplacements. Pour la formulation de la méthode des éléments finis, outre le principe de la méthode des déplacements (comme inconnus sont considérés les déplacements), il est possible d’utiliser le principe de la méthode des forces ou de la méthode mixte. La méthode étant classée dans la catégorie des méthodes numériques, la précision de calculs par la MEF peut être alors améliorée en augmentant le nombre d’éléments finis tout en vérifiant quelques hypothèses d’interpolation et de convergence. Lorsque le nombre des éléments devient important, le nombre d’équations augmente et le calcul manuel deviendra fastidieux ; on fera alors appel à l’outil informatique; la méthode des éléments finis est donc automatisée (informatisée).
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