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Méthodes Numériques
Disponible
Pages 300
Dimensions 16*23,5
Publication 2022-07-07
Éditeur —
Papier : 1 400.00 DA
Numérique: 700.00 DA
POUR cette troisième édition nous avons revu certaines méthodes en sim- plifiant d’avantage l’approche utilisée. Nous avons aussi ajouté quelques exercices corrigés. Chaque méthode est suivie d’un exemple simple pour mon- trer son utilisation. Chaque chapitre est accompagné d’exercices corrigés dont le calcul se fait à la main ou avec la calculatrice, ce qui permettra une meilleure assimilation des méthodes. De plus, après la section d’exercices-corrigés de chaque chapitre, nous avons présenté quelques programmes des méthodes numériques en utilisant MATLAB /Octave. Comme certaines filière utilisent d’autres langages de programma- tion, dans ce cas la partie programmation n’est pas indispensable. Une annexe supplémentaire, qui contient des sujets d’examens avec leurs cor- rigés, a été aussi ajoutée.
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Table des matières (nettoyée et réorganisée)
Avant-propos i
1 Calcul numérique et analyse d’erreurs
1 Modélisation et sources d’erreurs 8
2 Estimation de l’erreur de calcul 11
2.1 Représentation des nombres 11
2.2 Représentation des nombres sur machine 13
2.3 Erreurs absolue et relative 14
2.4 Chiffres significatifs et arrondi 16
2.5 Chiffres significatifs exacts 18
2.6 Propagation des erreurs lors des opérations arithmétiques 20
3 Codage des nombres sur ordinateur 21
3.1 Erreur de représentation (arrondi) 22
Exercices – Corrigés 23
4 Programmation 28
2 Résolution des équations non linéaires
1 Position du problème 32
2 Estimation de la solution approchée 32
3 Résolution par les méthodes itératives 33
3.1 Convergence d’une méthode itérative 33
3.2 Vitesse de convergence 34
4 Méthode de la bissection 35
4.1 Principe 35
4.2 Convergence 35
5 Méthode du point fixe 39
5.1 Définition 39
5.2 Théorème du point fixe 39
5.3 Principe et algorithme 40
5.4 Convergence et choix de g(x) 40
6 Méthode de Newton-Raphson 44
6.1 Théorème de Taylor 45
6.2 Principe et algorithme 45
6.3 Convergence 45
6.4 Newton pondéré 47
7 Méthode de la sécante 50
7.1 Principe 50
7.2 Convergence 51
8 Méthode de la fausse position 52
8.1 Principe 53
8.2 Convergence 53
9 Méthode de Muller 54
10 Résolution des équations polynomiales 56
10.1 Propriétés des polynômes 56
10.2 Schéma de Horner 57
10.3 Méthode de Bairstow 57
10.4 Bilan comparatif 60
Exercices – Corrigés 61
11 Programmation 70
11.1 Chute libre 70
11.2 Méthode de Bairstow 83
11.3 Résolution Matlab 88
11.4 Applications 88
11.5 Limitations 89
3 Interpolation polynomiale
1 Position du problème 91
2 Interpolation directe 92
3 Interpolation de Lagrange 93
3.1 Polynôme d’interpolation 93
3.2 Erreur d’interpolation 94
4 Interpolation de Newton 96
4.1 Polynôme d’interpolation 96
4.2 Erreur d’interpolation 101
5 Points équidistants 101
5.1 Différences finies Grégory-Newton progressive 102
5.2 Différences finies Grégory-Newton régressive 103
5.3 Différences finies centrées Gauss progressive-régressive 106
Exercices – Corrigés 112
6 Programmation 118
6.1 Mouvement d’un projectile 119
6.2 Rayonnement du corps noir 120
6.3 Segway 121
4 Approximation de fonctions
1 Approximation uniforme 126
2 Moindres carrés 128
2.1 Cas continu 130
2.2 Généralisation 131
3 Polynômes orthogonaux 131
4 Approximation trigonométrique 134
Exercices – Corrigés 136
5 Programmation 139
5.1 Régression linéaire 139
5.2 Fluide incompressible 139
5 Intégration numérique
1 Position du problème 144
2 Méthode directe 145
3 Méthodes de Newton-Cotes 146
3.1 Formule des trapèzes 147
3.2 Formule de Simpson 151
3.3 Variantes de Simpson 153
4 Quadratures de Gauss 157
4.1 Gauss-Legendre 157
4.2 Généralisation 160
5 Dérivation numérique
Exercices – Corrigés 163
6 Programmation 175
6.1 Méthode des trapèzes 175
6.2 Méthode de Simpson 175
6.3 Quadrature de Gauss 176
6.4 Vitesse thermique 177
6.5 Chemin optique dans une fibre optique 178
6.6 Relation de dispersion d’un gaz électronique 182
6 Équations différentielles ordinaires
1 Rappels 186
2 Méthode d’Euler 187
2.1 Interprétation géométrique 187
2.2 Estimation de l’erreur 189
2.3 Euler implicite 191
3 Méthode de Taylor 192
4 Méthode de Runge-Kutta 193
4.1 RK2 193
4.2 RK4 194
5 Méthodes à pas multiples 197
Exercices – Corrigés 199
6 Programmation 204
6.1 Euler 204
6.2 Taylor 206
6.3 Runge-Kutta 207
6.4 Modèle polytropique 208
6.5 Chute de grêle 211
6.6 Progression d’une maladie contagieuse 213
6.7 Solveurs ODE Matlab 215
7 Systèmes d’équations
1 Rappels d’algèbre linéaire 217
2 Méthodes directes 220
2.1 Opérations sur les matrices 220
3 Élimination de Gauss
4 Gauss-Jordan 225
5 Factorisation LU 227
5.1 Décomposition de Cholesky 227
6 Conditionnement d’une matrice 229
7 Méthodes itératives 231
7.1 Jacobi 232
7.2 Gauss-Seidel 233
8 Systèmes non linéaires 233
Exercices – Corrigés 236
Programmation 244
9.1 Opérations sur les matrices 244
9.2 Élimination de Gauss 246
9.3 Gauss-Jordan 248
9.4 Matrice mal conditionnée 250
9.5 Méthode de Jacobi 250
9.6 Circuit électrique 252
9.7 Oscillateurs couplés 255
Annexe A 259
Annexe B 275
Index général 289
Index des noms 291
Index des commandes MATLAB
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